\chapter{Indledende analyse af kransystem}
\label{indledendeanalyseafkransystem}

\section{Dødzone}
\label{indledendeanalyseafkransystem-doedzone}

\begin{multicols}{2}
  
	\begin{minipage}{0.6 \textwidth}

En dødzone er her defineret som et inputområde hvor der ikke forekommer noget output. Sådan en dødzone forekommer i dette kransystem i begge bevægelsesretninger grundet Coulomb friktionen. Coulomb friktionen, også kaldet tørfriktionen, har en konstant størrelse der ændrer fortegn efter bevægelsesretningen. Coulomb friktionen skyldes normalkrafter i lejerne \citep{modelnote} og er med til at gøre kransystemet ulinært. Friktionsmomentet Coulomb kraften bidrager med kan beskrives som: $\tau_c \cdot sign(\omega)$. Denne coulomb friktion gør at rotationssystemet i kranens bevægelsesretninger ikke begynder at bevæge sig før det drivende moment er større en tørmomentet fra coulomb friktionen.

\end{minipage}

\begin{minipage}{0.6 \textwidth}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{billeder/deadzone.pdf}
		\caption{Dødzone.}
		\label{fig:deadzone}
\end{figure}
		
\end{minipage}

\end{multicols}

Dette giver en karakteristik for hastigheden ved steady state som set på figur \ref{fig:deadzone}. For at eliminere ulineariteterne fra denne dødzone tilføjes der en konstant spænding til motorene. Disse størrelser er bestemt eksperimentelt, se appendiks \vref{appendiks-testanvendtiindledendeanalyse}, hvor inputspændingen er sat til at stige og aflæst når rotationen starter.

Dødzone for slædebevægelsen (X-retningen):

\begin{figure}[H]
		\centering
		\includegraphics[width=0.6\textwidth]{billeder/deadzonex.pdf}
		\caption{Dødzone for slædebevægelser}
		\label{fig:deadzonex}
\end{figure}

Spændingen for dødzonen aflæses til $\pm2,2$. Som man kan se på grafen er hastigheden som funktion af spændingen ikke helt lineær efter dødzonen hvilket hovedsageligt skyldes at spændingen i dette forsøg er sat til at stige hvert 0.01 s med 0.01 V hvilket gør at systemet aldrig når at komme helt i steady state. Desuden skyldes afvigelsen også grundproblemet i denne rapport, nemlig at hastigheden oscillere grundet svingningerne fra lasten.

For bevægelse af lasten (Y-retningen):

\begin{figure}[H]
		\centering
		\includegraphics[width=0.6\textwidth]{billeder/deadzoney.pdf}
		\caption{Dødzone for lastbevægelser}
		\label{fig:deadzoney}
\end{figure}

Her er spændingen for dødzonen forskellig alt efter om lasten løftes eller sænkes grundet tyngdekraften. Dødzonen er aflæst til [-3 V til 1.5 V].

\section{Mætning}
\label{indledendeanalyseafkransystem-maetning}

\begin{multicols}{2}
  
	\begin{minipage}{0.6 \textwidth}

En anden ulinearitet der forekommer i systemet er mætning. En mætning er her defineret som et punkt hvorved en yderligere stigning på input ikke giver nogle ændring af output. Mætninger i systemet skal tages med i betragtningen når der fremstilles regulatorer. Laves der f.eks. en PI regulator i et system med mætning kan der opstå komplikationer. Ved højere input end mætningen tillader vil den relative forstærkning blive lavere så et system med poler der bevæger sig over i det positive halvplan ved lavere forstærkning kunne blive ustabilt. Et andet aspekt er integrations windup der vil blive nærmere diskuteret i \fixme{indsæt reference til antiwindup afsnit /AO}.

\end{minipage}

\begin{minipage}{0.6 \textwidth}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{billeder/saturation.pdf}
		\caption{Mætning.}
		\label{fig:saturation}
\end{figure}
		
\end{minipage}

\end{multicols}

En mætning der kan nævnes som eksempel er at bevægelserne for slæden og lasten er begrænset til de områder kranen afgrænser. Placeres slæden i den ene ende af kranen vil et input mod den ende ikke give nogle ændringer på hverken slædens hastighed eller position. Den mest udtalte mætning i dette projekt er dog mætningen der ligger i at de benyttede effektforstærkere maksimalt leverer 13 V til motorene. 

For bedre at kunne bestemme hvilke områder den automatiske styring skal virke indenfor er der testet maksimal hastighed ved et step med en inputspænding på 13 V på slæde- og lastmotoren.

Maksimal hastighed for slædemotoren (X-retning):

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{billeder/maxveloxpos.pdf}
		\caption{Maximal hastighed for slædemotoren ved et step på 13 V.}
		\label{fig:maxveloxpos}
\end{figure}

Som det ses på grafen giver lasten oscillationener på hastigheden ved steady state. Hastigheden er derfor aflæst som RMS værdien ved steady state. Den maksimal hastighed er aflæst til 1.02 m/s.

Maksimal hastighed for lastmotoren (Y-retning):

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{billeder/maxveloyposneg.pdf}
		\caption{Maximal hastighed for lastmotoren ved et step på 13 V og -13 V.}
		\label{fig:maxveloyposneg}
\end{figure}

Grundet tyngdekraften er den maksimale hastighed forskellig alt efter om lasten løftes eller sænkes grundet tyngdekraften. Den maksimale hastighed for sænkning af lasten er målt til 0.31 m/s. Den maksimale hastighed for løftning af lasten er målt til 0.23 m/s. \fixme{Skriv hvis der er valgt i kravspecifikation at lasten skal kunne løfte og sænke lige hurtigt og den mindste værdi derfor er valgt som grænse for kravet. /AO}

\section{Dynamik}
\label{indledendeanalyseafkransystem-dynamik}